Soal-Soal Suku Banyak

Untuk versi dokumen dapat di unduh di sini

Pembagian Suku Banyak

Kembali bersama EinsteinMathematics, jangan bosan-bosan ya… semakin sering kita membaca ilmu maka akan semakin bertambah ilmu kita. Materi kali ini mengenai polinomial atau sering disebut dengan suku banyak. Mengenai apa itu suku banyak dan bagaiman bentuknya, mari kita simak pada penjelasan dibawah ini.

Dalam matematika, polinomial atau suku banyak (juga ditulis sukubanyak) adalah pernyataan matematika yang melibatkan jumlahan perkalian pangkat dalam satu atau lebih variabel dengan koefisien. Sebuah polinomial dalam satu variabel dengan koefisien konstan memiliki bentuk seperti berikut:

Lalu kami akan menjelaskan tentang Pembagian Suku Banyak. Pembagian suku banyak adalah metode - metode yang digunakan untuk membagi suatu bentuk yang memuat variabel berpangkat atau yang disebut suku banyak dan pembagian suku banyak terdapat empat metode pembagian yaitu Horner Kino, Horner Biasa, Koefisien Tak Tentu, dan Pembagian Bersusun.

Pertama kami akan menjelaskan tentang metode yang pertama yaitu Pembagian Bersusun:

Contoh:

 F(x) = 2x³ – 3x² + x + 5 dibagi dengan P(x) = 2x² – x – 1

Sehingga hasil baginya: H(X) = x – 1, sisanya S(x) = x + 4


Kedua kamu akan menjelaskan tentang metode yang kedua yaitu metode Horner atau yang bisa disebut Skema penjelasannya sebagai berikut:

cara ini dapat  digunakan untuk pembagi berderajat 1 atau pembagi yang dapat difaktorkan menjadi pembagi-pembagi berderajat 1

Untuk soal di atas,

P(x) = 2x² – x – 1 = (2x + 1)(x – 1)

P₁: 2x + 1 = 0 → x = –½

P₂: x – 1 = 0 → x = 1

Cara Hornernya:

H(x) = 1.x – 1 = x – 1

S(x) = P₁.S₂ + S₁ = (2x + 1).1/2 + 7/2 = x + ½ + 7/2 = x + 4

Ketiga kami akan menjelaskan metode Koefisien Tak Tentu penjelasan metode Koefisien Tak Tentu adalah sebagai berikut:

F(x) = P(x).H(x) + S(x)

Untuk soal di atas, karena F(x) berderajat 3 dan P(x) berderajat 2, maka

H(x) berderajat 3 – 2 = 1

S(x) berderajat 2 – 1 = 1

Jadi, misalkan H(x) = ax + b dan S(x) = cx + d

Maka:

2x³ – 3x² + x + 5 = (2x² – x – 1).(ax + b) + (cx + d)

Ruas kanan:

= 2ax³ + 2bx² – ax² – bx – ax – b + cx + d

= 2ax³ + (2b – a)x² + (–b – a + c)x + (–b + d)

Samakan koefisien ruas kiri dan ruas kanan:

x³ → 2 = 2a → a = 2/2 = 1

x² → –3 = 2b – a → 2b = –3 + a = –3 + 1 = –2 → b = –2/2 = –1

x → 1 = –b – a + c → c = 1 + b + a = 1 – 1 + 1 → c = 1

Konstanta → 5 = –b + d → d = 5 + b = 5 – 1 → d = 4

Jadi:

H(x) = ax + b = 1.x – 1 = x – 1

S(x) = cx + d = 1.x + 4 = x + 4

Keempat kami akan menjelaskan metode yang terakhir yaitu metode Horner Kino yaitu pengembangan metode sembelumnya yaitu Horner atau Skema penjelasannya sebagai berikut:

Metode Horner kino merupakan salah satu metode yang digunakan untuk menentukan sisa dari pembagian suku banyak dengan pembagi berderajat lebih dari satu. Metode ini sangat efektif sekali dalam menentukan sisa dari sebuah suku banyak karena lebih ringkas dan sederhana sekali. Sedangkan untuk menentukan sisa dari pembagian suku banyak dengan pembagi berderajat satu, kita dapat gunakan metode horner biasa .Untuk lebih jelasnya, langsung saja kita bahas metode ini melalui contoh soal dibawah ini!

Sisa dari pembagian suku banyak  2x⁴-4x³+4x²+8x+12 dengan 2x²+4x+4
adalah ....

Penyelesaian:

Untuk soal diatas, kita gunakan metode horner kino karena pembagi berderajat dua (lebih dari satu). Pada soal tersebut diketahui bahwa pembagi adalah 2x²+4x+4. Jika pembagi dinyatakan dalam bentuk ax²+bx+c, maka a= 2, b= 1, dan c= 1 sehingga -b/a= -2 dan -c/a= -2.  Langkah berikutnya, kita susun pola algoritma horner kino sebagai berikut:

Dengan 2, -4, 4, 8, 12 adalah koefisien dari 2x⁴, 4x³, 4x², 8x, dan 12 sedangkan bagian yang diberi markah (titik) adalah bagian yang tidak diisi

Sedangkan aturan pengisiannya sebagai berikut:

Sisa dari pembagian polinomial adalah  -8 -20 yang berarti sisanya -8x-20. Jika ingin menguji kebenaran akan hasil tersebut kita dapat gunakan cara pembagian polinomial secara bersusun.

Teorema Sisa 

Teorema Faktor

Suatu suku banyak F(x) mempunyai faktor (x – k) jika F(k) = 0 (sisanya jika dibagi dengan (x – k) adalah 0)

Catatan: jika (x – k) adalah faktor dari F(x) maka k dikatakan sebagai akar dari F(x)

Tips

1. Untuk mencari akar suatu suku banyak dengan cara Horner, dapat dilakukan dengan mencoba-coba dengan angka dari faktor-faktor konstanta dibagi faktor-faktor koefisien pangkat tertinggi yang akan memberikan sisa = 0. Contohnya :untuk x³ – 2x² – x + 2 = 0, faktor-faktor konstantanya: ±1, ±2, faktor-faktor koefisien pangkat tertinggi: ±1. Sehingga, angka-angka yang perlu dicoba: ±1 dan ±2untuk 4x³ – 2x² – x + 2 = 0, faktor-faktor konstantanya: ±1, ±2, faktor-faktor koefisien pangkat tertinggi: ±1, ±2, ±4. Sehingga, angka-angka yang perlu dicoba: ±1, ±2, ±1/2, ±1/4
2. Jika jumlah koefisien suku banyak = 0, maka pasti salah satu akarnya adalah x = 1.
3. Jika jumlah koefisien suku di posisi genap = jumlah koefisien suku di posisi ganjil, maka pasti salah satu akarnya adalah x = –1

Perhatikan contoh berikut :

Tentukan penyelesaian dari x³ – 2x² – x + 2 = 0?

Jawab :

Faktor-faktor dari konstantanya, yaitu 2,  adalah ±1 dan ±2 dan faktor-faktor koefisien pangkat tertingginya, yaitu 1, adalah ±1, sehingga angka-angka yang perlu dicoba: ±1 dan ±2

Karena jumlah seluruh koefisien + konstantanya = 0 (1 – 2 – 1 + 2 = 0), maka, pasti x = 1 adalah salah satu faktornya, jadi:

Jadi x³ – 2x² – x + 2 = (x – 1)(x² – x – 2)

= (x – 1)(x – 2)(x + 1)

x = 1   x = 2   x = –1

Jadi himpunan penyelesaiannya: {–1, 1, 2}